Voici les étapes à suivre pour obtenir la factorisation générale (dans $\mathbb{R}$ ou dans $\mathbb{C}$) de $ax^2+bx+c$.

$$\begin{align*} &\mbox{Mise en évidence simple}\\ ax^2+bx+c & = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) & a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0 \\ &\mbox{Complétion du carré}\\ & = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x + { \left( \frac{b}{2a} \right) }^2 - { \left( \frac{b}{2a} \right) }^2 + \frac{c}{a} \right) & \text{si } \frac{c}{a} = { \left( \frac{b}{2a} \right) }^2 \Rightarrow \text{on a un carré parfait} \\ &\mbox{Préparation de la double mise en évidence}\\ & = a \left( \underbrace{x^2 + \frac{b}{2a}x}_{1} + \underbrace{\frac{b}{2a}x + { \left( \frac{b}{2a} \right) }^2}_{2} - { \left( \frac{b}{2a} \right) }^2 + \frac{c}{a} \right) \\ &\mbox{1ère étape de la double mise en évidence}\\ & = a \left( \overbrace{x \left( x + \frac{b}{2a} \right)}^{1} + \overbrace{\frac{b}{2a} \left( x + \frac{b}{2a} \right)}^{2} - {\left( \frac{b}{2a} \right)}^2 + \frac{c}{a} \right) \\ &\mbox{2ème étape de la double mise en évidence}\\ & = a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right) \left( x + \frac{b}{2a} \right) - {\left( \frac{b}{2a} \right)}^2 + \frac{c}{a} \right) \\ &\mbox{Observation de la différence de deux carrés}\\ & = a \left( {\left( x + \frac{b}{2a} \right)}^2 - {\left( \sqrt{{\left( \frac{b}{2a} \right) }^2 - \frac{c}{a}} \right)}^2 \right) & {\left( \frac{b}{2a} \right) }^2 - \frac{c}{a} \geq 0 \\ &\mbox{Différence de deux carrés}\\ & = a \left( \left( x + \frac{b}{2a} + \sqrt{ \frac{b^2}{2^2 a^2} - \frac{c}{a}} \right) \left( x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{2^2 a^2} - \frac{c}{a}} \right) \right) \\ &\mbox{Mettre les radicandes au même dénominateur et simplification}\\ & = a \left( x + \frac{b}{2a} + \sqrt{ \frac{b^2}{2^2 a^2} - \frac{2^2 a c}{2^2 a^2}} \right) \left( x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 2^2 a c}{2^2 a^2}} \right) \\ & = a \left( x + \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{2^2 a^2}} \right) \left( x + \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \\ & = a \left( x + \frac{b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \left( x + \frac{b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \\ & = a \left( x - \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) \left( x - \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \right) & \Delta = b^2 - 4ac \geq 0 \qquad\qquad \\ & = a \left( x - r_1 \right) \left( x - r_2 \right)\\ &\mbox{ où } r_1 \mbox{ et } r_2 \mbox{ sont les deux racines (zéros) de } ax^2+bx+c\\ \end{align*}$$ La condition $\Delta \geq 0$ (ou $\displaystyle{{\left( \frac{b}{2a} \right) }^2 - \frac{c}{a} \geq 0}$) n'est requise que pour factoriser dans $\mathbb{R}$. Elle n'est pas requise pour factoriser dans $\mathbb{C}$.
Si $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes ($r_1 \neq r_2 \in \mathbb{R}$).
Si $\Delta = 0$, il y a une racine réelle double ($r_1 = r_2 \in \mathbb{R}$, c'est un carré parfait).
Si $\Delta < 0$, il y a deux racines complexes conjuguées l'une de l'autre ($r_1 = \overline{r_2} \in \mathbb{C}$).