Soit le cône tronqué suivant:

En supposant que le volume \(V_{T}\) et que les rayons \(R\) et \(r\) du cône sont connus, déterminer la hauteur \(\color{red}h\) du cône tronqué.

Démonstration

Soit \(V_{g}\) le volume du grand cône, \(V_{p}\) le volume du petit cône, \(\color{red}h_{\color{red}g}\) la hauteur du grand cône et \(\color{red}h_{\color{red}p}\) la hauteur du petit cône.

On déduit facilement que \(V_{T} = V_{g} - V_{p}\) et que \(\color{red}h = \color{red}h_{\color{red}g} - \color{red}h_{\color{red}p}\).

 Les volumes du grand cône et du petit cône sont respectivement donnés par

\[V_{g} = \frac{\pi R^2 \color{red}h_{\color{red}g}}{3}\]

et

\[V_{p} = \frac{\pi r^2 \color{red}h_{\color{red}p}}{3}\]

Donc
\[V_{T} = \frac{\pi R^2 \color{red}h_{\color{red}g}}{3} - \frac{\pi r^2 \color{red}h_{\color{red}p}}{3} = \frac{\pi}{3} ( R^2 \color{red}h_{\color{red}g} - r^2 \color{red}h_{\color{red}p} )\]

Par ailleurs, puisque les 2 cônes sont semblables (il faudrait démontrer ceci et non juste l'affirmer), on en déduit que
\[\frac{\color{red}h_{\color{red}p}}{\color{red}h_{\color{red}g}} = \frac{r}{R} \Longrightarrow \color{red}h_{\color{red}p} = \frac{r}{R} \color{red}h_{\color{red}g}\]

Par conséquent, on obtient

\[V_{T} = \frac{\pi}{3} ( R^2 \color{red}h_{\color{red}g} - r^2 \frac{r}{R} \color{red}h_{\color{red}g} ) = \frac{\pi}{3} ( R^2 - r^2 \frac{r}{R} ) \color{red}h_{\color{red}g}\]

\[V_{T} = \frac{\pi}{3} ( \frac{R^3 - r^3}{R} ) \color{red}h_{\color{red}g} = \frac{\pi ( R^3 - r^3 )}{3 R} \color{red}h_{\color{red}g}\]

\[\color{red}h_{\color{red}g} = \frac{3R}{\pi ( R^3 - r^3 )} V_{T}\]

Finanlement, on trouve que

\[\color{red}h = \color{red}h_{\color{red}g} - \frac{r}{R} \color{red}h_{\color{red}g} = ( 1 - \frac{r}{R} ) \color{red}h_{\color{red}g} = \frac{R - r}{R} \color{red}h_{\color{red}g}\]
\[\color{red}h = \frac{R - r}{R}\frac{3 V_{T} R}{\pi ( R^3 - r^3 )} = \frac{3 V_{T} ( R - r )}{\pi ( R^3 - r^3 )}\]

La dernière simplification est laissée au lecteur.